Aljabar adalah cabang matematika yang berurusan dengan simbol dan aturan untuk memanipulasi simbol tersebut. Dalam aljabar dasar, simbol-simbol tersebut (sekarang ditulis sebagai huruf Latin dan Yunani) mewakili jumlah tanpa nilai tetap, yang dikenal sebagai variabel. Sama seperti kalimat yang menggambarkan hubungan antara kata-kata tertentu, dalam aljabar, persamaan menggambarkan hubungan antar variabel. Ambil contoh berikut:
Saya memiliki dua bidang yang total 1.800 meter persegi. Hasil panen untuk masing-masing bidang adalah on galon gandum per halaman persegi dan ½ galon per halaman persegi. Bidang pertama memberi 500 galon lebih banyak dari yang kedua. Apa area masing-masing bidang?
Ini adalah anggapan populer bahwa masalah seperti itu diciptakan untuk menyiksa siswa, dan ini mungkin tidak jauh dari kebenaran. Masalah ini hampir pasti ditulis untuk membantu siswa memahami matematika – tetapi yang istimewa tentang hal ini adalah usianya hampir 4.000 tahun! Menurut Jacques Sesiano dalam “Sebuah Pengantar Sejarah Aljabar” (AMS, 2009), masalah ini didasarkan pada tablet tanah liat Babilonia sekitar 1800 SM. (PPN 8389, Museum Timur Dekat Kuno). Sejak akar ini di Mesopotamia kuno, aljabar telah menjadi pusat banyak kemajuan dalam sains, teknologi, dan peradaban secara keseluruhan. Bahasa aljabar telah bervariasi secara signifikan di sepanjang sejarah semua peradaban untuk mewarisinya (termasuk milik kita). Hari ini kami menulis masalah seperti ini:
x + y = 1.800
Huruf x dan y mewakili bidang bidang. Persamaan pertama dipahami hanya sebagai “menambahkan dua area memberikan luas total 1.800 meter persegi.” Persamaan kedua lebih halus. Karena x adalah luas bidang pertama, dan bidang pertama memiliki hasil dua pertiga galon per yard persegi, “⅔ ∙ x” – yang berarti “dua pertiga kali x” – mewakili jumlah total biji yang dihasilkan oleh bidang pertama. Demikian pula “½ ∙ y” mewakili jumlah total biji-bijian yang dihasilkan oleh bidang kedua. Karena bidang pertama memberi 500 galon lebih banyak biji daripada yang kedua, perbedaan (karenanya, pengurangan) antara butir bidang pertama (⅔ ∙ x) dan butir bidang kedua (½ ∙ y) adalah (=) 500 galon.
Jawaban muncul
Tentu saja, kekuatan aljabar tidak dalam mengkode pernyataan tentang dunia fisik. Ilmuwan dan penulis komputer Mark Jason Dominus menulis di blognya, The Universe of Discourse: “Pada fase pertama Anda menerjemahkan masalah menjadi aljabar, dan kemudian pada fase kedua Anda memanipulasi simbol, hampir secara mekanis, hingga jawabannya muncul seolah-olah dengan sihir. ” Sementara aturan manipulasi ini berasal dari prinsip-prinsip matematika, sifat baru dan non-sequitur dari “memutar engkol” atau “mencolokkan dan menenggak” telah diperhatikan oleh banyak siswa dan profesional.
Di sini, kita akan menyelesaikan masalah ini menggunakan teknik seperti yang diajarkan hari ini. Dan sebagai penafian, pembaca tidak perlu memahami setiap langkah spesifik untuk memahami pentingnya teknik keseluruhan ini. Adalah niat saya bahwa signifikansi historis dan fakta bahwa kita dapat menyelesaikan masalah tanpa dugaan apa pun akan mengilhami pembaca yang tidak berpengalaman untuk mempelajari langkah-langkah ini secara lebih rinci. Ini persamaan pertama lagi:
x + y = 1.800
Kami memecahkan persamaan ini untuk y dengan mengurangi x dari setiap sisi persamaan:
y = 1.800 – x
Sekarang, kita membawa persamaan kedua:
⅔ ∙ x – ½ ∙ y = 500
Karena kami menemukan “1.800 – x” sama dengan y, maka dapat disubstitusi ke dalam persamaan kedua:
⅔ ∙ x – ½ ∙ (1.800 – x) = 500
Selanjutnya, distribusikan setengah negatif (–½) di ekspresi “1.800 – x”:
⅔ ∙ x + (–½ ∙ 1.800) + (–½ ∙ –x) = 500
Ini menyederhanakan untuk:
⅔ ∙ x – 900 + ½ ∙ x = 500
Tambahkan dua fraksi x bersama-sama dan tambahkan 900 ke setiap sisi persamaan:
(7/6) ∙ x = 1.400
Sekarang, bagi setiap sisi persamaan dengan 7/6:
x = 1.200
Dengan demikian, bidang pertama memiliki luas 1.200 meter persegi. Nilai ini dapat disubstitusikan ke dalam persamaan pertama untuk menentukan y:
(1.200) + y = 1.800
Kurangi 1.200 dari setiap sisi persamaan untuk dipecahkan untuk y:
y = 600
Dengan demikian, bidang kedua memiliki luas 600 meter persegi.
Perhatikan seberapa sering kita menggunakan teknik melakukan operasi untuk setiap sisi persamaan. Praktik ini paling baik dipahami sebagai memvisualisasikan persamaan sebagai skala dengan bobot yang diketahui di satu sisi dan bobot yang tidak diketahui di sisi lain. Jika kita menambah atau mengurangi jumlah bobot yang sama dari masing-masing sisi, skalanya tetap seimbang. Demikian pula, skala tetap seimbang jika kita mengalikan atau membagi bobot secara merata.
Sementara teknik menjaga persamaan seimbang hampir pasti digunakan oleh semua peradaban untuk memajukan aljabar, menggunakannya untuk memecahkan masalah Babel kuno ini (seperti yang ditunjukkan di atas) adalah anakronik karena teknik ini hanya menjadi pusat aljabar selama 1.200 tahun terakhir.
Sebelum Abad Pertengahan
Pemikiran aljabar mengalami reformasi substansial mengikuti kemajuan oleh para ulama Zaman Keemasan Islam. Sampai titik ini, peradaban yang mewarisi matematika Babilonia mempraktikkan aljabar dalam “metode prosedural” yang rumit. Sesiano lebih lanjut menjelaskan: Seorang “siswa perlu menghafal sejumlah kecil identitas [matematika], dan seni memecahkan masalah ini kemudian terdiri dalam mengubah setiap masalah menjadi bentuk standar dan menghitung solusinya.” (Sebagai tambahan, para sarjana dari Yunani kuno dan India melakukan praktik bahasa simbolik untuk belajar tentang teori bilangan.)
Seorang ahli matematika dan astronom India, Aryabhata (A.D. 476-550), menulis salah satu buku paling awal tentang matematika dan astronomi, yang disebut “Aryabhatiya” oleh para sarjana modern. (Aryabhata tidak memberi judul karyanya sendiri.) Karya itu adalah “risalah astronomi kecil yang ditulis dalam 118 ayat yang memberikan ringkasan matematika Hindu hingga saat itu,” menurut Universitas St. Andrews, Skotlandia.
Menurut Kripa Shankar Shukla dalam “Aryabhatiya of Aryabhata” (Akademi Sains Nasional India di New Delhi, 1976), ayat ini kira-kira diterjemahkan menjadi:
2.24: Untuk menentukan dua kuantitas dari perbedaan dan produknya, gandakan produk dengan empat, kemudian tambahkan kuadrat perbedaan dan ambil akar kuadrat. Tulis hasil ini dalam dua slot. Tambah slot pertama dengan perbedaan dan kurangi slot kedua dengan perbedaan. Potong setiap slot menjadi dua untuk mendapatkan nilai dari kedua kuantitas tersebut.
Dalam notasi aljabar modern, kita menulis perbedaan dan produk seperti ini:
x – y = A (perbedaan)
x ∙ y = B (produk)
Prosedurnya kemudian ditulis seperti ini:
x = [√ (4 ∙ B + A2) + A] / 2
y = [√ (4 ∙ B + A2) – A] / 2
Ini adalah variasi dari rumus kuadratik. Prosedur serupa muncul sejauh Babylonia, dan mewakili keadaan aljabar (dan ikatan dekatnya dengan astronomi) selama lebih dari 3.500 tahun, melintasi banyak peradaban: Asyur, pada abad ke-10 SM; Kasdim, pada abad ketujuh SM; Persia, pada abad keenam SM; Yunani, pada abad keempat SM; Roma, pada abad pertama A.D.; dan orang India, pada abad kelima M.
Meskipun prosedur semacam itu hampir pasti berasal dari geometri, penting untuk mencatat teks asli dari setiap peradaban yang sama sekali tidak mengatakan apa pun tentang bagaimana prosedur tersebut ditentukan, dan tidak ada upaya yang dilakukan untuk menunjukkan bukti kebenarannya. Catatan tertulis yang membahas masalah ini pertama kali muncul pada Abad Pertengahan.
Masa remaja aljabar
Zaman Keemasan Islam, periode dari pertengahan abad ketujuh hingga pertengahan abad ke-13, melihat penyebaran matematika Yunani dan India ke dunia Muslim. Dalam 8D A. 820, Al-Khwārizmī, seorang anggota fakultas dari House of Wisdom of Baghdad, menerbitkan “Al-jabr wa’l muqabalah,” atau “Buku Komprehensif tentang Perhitungan dengan Penyelesaian dan Penyeimbangan.” Dari “al-jabr” kita memperoleh kata “aljabar”. Al-Khwārizmī juga mengembangkan metode cepat untuk mengalikan dan membagi angka, yang dikenal sebagai algoritma – korupsi namanya. Dia juga menyarankan bahwa lingkaran kecil harus digunakan dalam perhitungan jika tidak ada angka yang muncul di puluhan tempat – sehingga menciptakan nol.
Untuk pertama kalinya sejak awal, praktik aljabar mengalihkan fokusnya dari menerapkan metode prosedural lebih ke cara membuktikan dan menurunkan metode tersebut menggunakan geometri dan teknik melakukan operasi ke setiap sisi persamaan. Menurut Carl B. Boyer dalam “A History of Mathematics 3rd Ed.” (2011, Wiley), Al-Khwārizmī merasa “perlu bahwa kita harus menunjukkan secara geometris kebenaran dari masalah yang sama yang telah kami jelaskan dalam angka.”
Sarjana Muslim Abad Pertengahan menulis persamaan sebagai kalimat dalam tradisi yang sekarang dikenal sebagai aljabar retoris. Selama 800 tahun berikutnya, aljabar berkembang dalam spektrum bahasa retoris dan simbolik yang dikenal sebagai aljabar sinkop. Warisan pengetahuan pan-Eurasia yang mencakup matematika, astronomi, dan navigasi menemukan jalannya ke Eropa antara abad ke-11 dan ke-13, terutama melalui Semenanjung Iberia, yang dikenal orang-orang Arab sebagai Al-Andalus. Poin-poin tertentu dari penularan ke Eropa adalah penaklukan Toledo oleh orang-orang Kristen Spanyol pada tahun 1085, penguasaan kembali oleh orang-orang Normandia pada 1091 (setelah penaklukan Islam pada tahun 965) dan pertempuran Tentara Salib di Levant dari 1096 hingga 1303. Selain itu, sejumlah sarjana Kristen seperti Constantine the African (1017-1087), Adelard of Bath (1080-1152) dan Leonardo Fibonacci (1170-1250) melakukan perjalanan ke negeri-negeri Muslim untuk belajar sains.
Pematangan
Aljabar simbolis sepenuhnya – seperti yang ditunjukkan pada awal artikel – tidak akan dikenali sampai Revolusi Ilmiah. René Descartes (1596-1650) menggunakan aljabar yang akan kita kenali hari ini dalam publikasi 1637 “La Géométrie,” yang memelopori praktik grafik persamaan aljabar. Menurut Leonard Mlodinow dalam “Euclid’s Window” (Free Press, 2002), metode geometris Descartes sangat penting bagi wawasannya sehingga ia menulis bahwa ‘seluruh fisika saya tidak lain adalah geometri.’ “Aljabar, telah menyimpang dari prosedurnya. mitra geometris 800 tahun sebelumnya untuk berkembang menjadi bahasa simbolik, telah datang lingkaran penuh.
Source : livescience
